Hilbert, invaryantlar kuramýnýn temel kanunlarýný ortaya koymayý baþardý. 1899 yýlýnda, geometrinin temelleri üstüne araþtýrmalarýnýn bit sentezi olan "Geometrinin Temelleri" adlý eserini yayýnladý. Bu, matematiðin çeþitli bölümlerinde aksiyomlaþtýrma amacýna yönelen birçok verimli çalýþmaya yol açtý. Somut görüntülere baþvurmaktan kaçýnan Hilbert, noktalar, doðrular ve düzlemler diye adlandýrdýðý "Üç nesne sistemini" matematiðe soktu. Ne olduklarý kesin olarak gösterilmeyen bu nesneler, beþ grupta toplanmýþ yirmi bir aksiyomla açýklanan bazý iliþkiler ortaya koyar. Ait olma, sýra, eþitlik veya denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomu bunlardandýr. Bundan sonra, aksiyomlardan birinin veya öbürünün doðrulanmadýðý geometriler kurdu. Temel terimleri kendilerine aksiyomlarla yüklenen özelliklerden baþka özelikleri bulunmayan mantýksal varlýklar olarak ele aldý. Klasik matematiði savunmak ve ondaki apaçýklýðý göstermek için Brouwer ile giriþtiði tartýþmalar, matematikte geniþ biçimli incelemelere yol açtý. 1943 yýlýnda Göttingen'de öldü.